BÀI TẬP PHÉP VỊ TỰ

     

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

Bạn đang xem: Bài tập phép vị tự

1. Định nghĩa.

Cho điểm

*
và một trong những thực
*
. Phép vươn lên là hình thay đổi mỗi điểm
*
thành điểm
*
sao cho
*
được điện thoại tư vấn là phép vị từ tâm
*
, tỉ số
*
. Kí hiệu
*

Vậy

*
.

2. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho

*
,
*
, gọi
*
thì

*
.

3. Tính chất:

- Nếu
*
thì
*
*
.- Phép vị trường đoản cú tỉ số k.- Biến ba điểm thẳng sản phẩm thành bố điểm với bảo toàn thiết bị tự giữa ba điểm đó.- vươn lên là một con đường thẳng thành đường thẳng thành một con đường thẳng song song hoặc trùng với con đường thẳng đang cho, biến tia thành tia, trở nên đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng.
- thay đổi đường tròn có phân phối kính
*
thành mặt đường tròn có buôn bán kính
*

4. Vai trung phong vị tự của hai tuyến phố tròn.

Định lí:Với hai tuyến phố tròn bất kì luôn có một phép vị tự trở nên đường tròn này thành con đường tròn kia.

Tâm của phép vị từ này được call là tâm vị từ của hai đường tròn.

Cho hai tuyến đường tròn

*
*
:

+ Nếu
*
thì những phép vị tự
*
biến
*
thành
*
.+ Nếu
*
*
thì các phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
. Ta gọi
*
là chổ chính giữa vị tự ngoài còn
*
là trung khu vị tự trong của hai đường tròn.


Nếu Nếu

*
*
thì có
*
biến
*
thành
*
.


B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, đặc điểm và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng

*
, đến đường thẳng
*
có phương trình
*
. Hãy viết phương trình của mặt đường thẳng
*
là hình ảnh của
*
qua phép vị trường đoản cú tâm
*
tỉ số
*
.

Lời giải:

Cách 1:Lấy

*
.

Gọi

*
. Theo biểu thức tọa độ ta có

*
!! ext .0\y"=-2y+ ext !!!! ext .0endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=-frac12x"\y=-frac12y"endarray ight." />.

Thay vào

*
ta được
*

Vậy

*
.

Cách 2:Do

*
song tuy vậy hoặc trùng với
*
nên phương trình có dạng :
*
. Lấy
*
thuộc
*
. Gọi
*
ta có
*
. Chũm vào
*
ta được
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 2.Trong mặt phẳng

*
, mang lại đường tròn
*
. Tìm ảnh của con đường tròn
*
qua phép vị từ bỏ tâm
*
tỉ số
*

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
, chào bán kính
*
.

Gọi

*

*
.

Gọi

*
là ảnh của
*
qua phép vị tự
*
thì
*
có tâm
*
, bán kính
*
.

Vậy

*
.

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA nhị ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng bí quyết tìm trung khu vị từ bỏ của hai tuyến phố tròn trong bài bác học.

Ví dụ 1.Cho hai đường tròn

*
*
đựng nhau, với
*
. Tìm trọng tâm vị từ bỏ của nhị đương tròn
*
*
.


Lời giải:

Do

*
*
nên tất cả hai phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
.


Ví dụ 2.Cho hai tuyến phố tròn

*
*
. Tìm trung ương vị từ của hai tuyến phố tròn.

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
,bán kính
*
; đường tròn
*
có tâm
*
, cung cấp kính
*
. Do
*
*
nên có hai phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
. Gọi
*

Với

*
khi đó
*
.

*
.

Tương trường đoản cú với

*
, tính được
*
.

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình

*
nào kia ta quy về dựng một trong những điểm ( đầy đủ để khẳng định hình
*
) khi đó ta xem những điểm cần dựng sẽ là giao của hai tuyến đường trong đố một đường có sẵn cùng một con đường là ảnh vị từ bỏ của một con đường khác.

Xem thêm: “ Tôn Sư Trọng Đạo Xưa Và Nay, “Tôn Sư, Trọng Đạo” Xưa Và Nay

Ví dụ 1.Cho hai điểm

*
cố định và hai tuyến phố thẳng
*
. Dựng tam giác
*
có đỉnh
*
thuộc
*
và trọng tâm
*
thuộc
*
.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác

*
thỏa mãn yêu thương cầu bài bác toán.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, theo tính chất trọng trọng điểm ta có
*

*
*

Với

*
là ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*

Cách dựng:

Dựng mặt đường thẳng
*
ảnh của
*
qua
*
.Dựng giao điểm
*
.Dựng giao điểm
*
.

Hai điểm

*
là hai điểm cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ bí quyết dựng ta có

*
;
*
là trung điểm của
*
*
là giữa trung tâm tam giác
*
.

Biện luận:

Số nghiệm hình thông qua số giao điểm của

*
*
.

Ví dụ 2.Cho hai tuyến phố tròn đồng tâm

*
*
. Xuất phát điểm từ một điểm
*
trên mặt đường tròn lớn
*
hãy dựng con đường thẳng
*
cắt
*
tại
*
và cắt
*
tại
*
sao cho
*
.

Lời giải:

Phân tích:


Giả sử sẽ dựng được đường thẳng

*
cắt
*
tại
*
*
tại
*
sao cho
*
, lúc đó
*
.

*
nên
*
với con đường tròn

*
là ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*
nên
*
.


Cách dựng:

Dựng con đường tròn
*
ảnh của con đường tròn
*
qua phép vị tự
*
.Dựng giao điểm
*
của
*
*
.Dựng mặt đường thẳng
*
đi qua
*
cắt những đường tròn
*
tại
*
tương ứng.

Đường thẳng

*
chính là con đường thẳng phải dựng.

Chứng minh:

Gọi

*
là trung điểm của
*
thì
*
cũng là trung điểm của
*
.

*
nên
*
, phương diện khác
*
*
có tầm thường trung điểm
*
nên
*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

Biện luận:Gọi

*
lần lượt là phân phối kính những đường tròn
*
*
ta có:

Nếu
*
thì bao gồm một nghiệm hình.Nếu
*
ta có thể quy về kiếm tìm tập thích hợp điểm
*
và kiếm tìm một phép vị tự
*
nào đó sao cho
*
suy ra quỹ tích điểm
*
là hình ảnh của quỹ tích
*
qua
*
.

Ví dụ 1.Cho đường tròn

*
và một điểm
*
nằm ở ngoài đường tròn sao cho
*
,
*
là một điểm thay đổi trên đường tròn
*
. Phân giác trong góc
*
cắt
*
tại điểm
*
. Tra cứu tập hòa hợp điểm
*
khi
*
di rượu cồn trên
*
.

Lời giải:


Theo đặc điểm đường phân giác ta có

*

*

*


*
, mà
*
thuộc mặt đường tròn
*
nên
*
thuộc
*
ảnh của
*
qua
*
. Vậy tập phù hợp điểm
*
*
ảnh của
*
qua
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Qua điểm
*
trên cạnh
*
vẽ các đường tuy vậy song với các đường trung tuyến
*
*
, khớp ứng cắt
*
*
tai
*
. Tìm kiếm tập hợp điểm
*
sao cho
*
là hình bình hành.

Lời giải:


Gọi

*
,
*
*
là trọng tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
*
.

Tương trường đoản cú ta có

*


Từ đó ta có

*
Do đó
*
, mà
*
thuộc cạnh
*
nên
*
thuộc ảnh của cạnh
*
qua
*
đoạn đó là đoạn
*
.

Vậy tập hòa hợp điểm

*
là đoạn
*
.

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1.Trên cạnh

*
của tam giác
*
lấy các điểm
*
sao cho
*
, các điểm
*
lần lượt là trung điểm của các cạnh
*
, gọi
*
là giao điểm của
*
*
,
*
là giao điểm của
*
với
*
. Bệnh minh
*
.

Lời giải:


Gọi

*
là giữa trung tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
là mặt đường trung bình của tam giác
*
nên
*
, phương diện khác
*
là trung điểm của
*
nên
*
là trung điểm của
*
.

Ta có

*
.


Tương tự

*
.

Vậy

*
*
suy ra
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Gọi
*
lần lượt là trung điểm của
*
. Đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
cắt
*
tại
*
. Gọi
*
là hình chiếu vuông góc của
*
trên
*
. Triệu chứng minh
*
thẳng hàng.

Xem thêm: Giáo Án Điện Tử Mầm Non Thơ Tết Đang Vào Nhà " Lớp 4 Tuổi A3

Lời giải:

Xét phép vị tự

*
ta có

*
nên
*
do đó
*
biến tam giác
*
thành tam giác
*
, do đó phép vị trường đoản cú này trở thành đường tròn
*
thành đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
.