Tính liên tục của hàm số

     

Với biện pháp giải các dạng toán về Hàm số liên tục môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm cách thức giải chi tiết, bài bác tập minh họa có lời giải và bài xích tập từ luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Hàm số thường xuyên lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Hàm số thường xuyên và cách giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số tiếp tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên K với x0∈K.

Bạn đang xem: Tính liên tục của hàm số

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ còn khi limx→x0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tiếp tại x0 ta nói hàm số cách quãng tại x0.

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) tiếp tục trên một khoảng (a; b) nếu nó tiếp tục tại đông đảo điểm x0 của khoảng tầm đó.

- Hàm số y = f(x) liên tiếp trên nếu như nó tiếp tục trên (a; b) vàlimx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b)

c) các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số nhiều thức tiếp tục trên tổng thể tập R.

- các hàm số nhiều thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác thường xuyên trên từng khoảng khẳng định của chúng.

Định lý 2: cho các hàm số y = f(x) với y = g(x) thường xuyên tại x0. Khi đó:

- các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) thường xuyên tại x0.

- Hàm số y=fxgxliên tục tại x0 ví như gx0≠0.

Định lý 3: cho hàm số y = f(x) thường xuyên trên và f(a).f(b) fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.

Bước 3: nếu như f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tiếp tại x0.

Nếu f2x0≠Lthì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với vấn đề tìm tham số m để hàm số thường xuyên tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), kiếm tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính thường xuyên của hàm số sau tại điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1

Lời giải

Hàm sẽ cho xác minh trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3

Ta thấylimx→−1fx=f−1

Vậy hàm số thường xuyên tại x = - 1.

Ví dụ 2: mang đến hàm số: fx=x−1x−1khi  x≠1m2xkhi  x=1. Tìm kiếm m để hàm số liên tiếp tại x = 1.

Lời giải

Hàm sẽ cho xác minh trên0;+∞

Ta có

f(1) = m2.

limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12

Để hàm số tiếp tục tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính thường xuyên của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi xx0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính số lượng giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1

Tính số lượng giới hạn phải:limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số thường xuyên bên trái trên x0.

Nếu L = L2 thì hàm số liên tiếp bên phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường phù hợp trên không xẩy ra thì hàm số không thường xuyên tại x0)

* Đối với việc tìm m nhằm hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Kiếm tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1.

Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Lời giải

*

Ví dụ 2: mang đến hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tra cứu m để hàm số liên tục tại x = 1

Lời giải

*

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính thường xuyên của hàm số tại những điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x12xkhi x≥1. Xét sự liên tiếp của hàm số.

Lời giải

Hàm số khẳng định và thường xuyên trên −∞;1và 1;+∞.

Xét tính liên tiếp tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2

Ta thấy limx→1fx=f1nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số tiếp tục trên R.

Ví dụ 2: cho hàm số fx=3−9−xx , 0x9m               , x=03x               , x≥9. Tìm m để hàm số tiếp tục trên .

Lời giải

Với x∈0;9: fx=3−9−xxxác định và liên tục trên 0;9.

Với x∈9;+∞: fx=3xxác định và liên tục trên 9;+∞.

Với x = 9, ta cóf9=39=13=limx→9+fx

vàlimx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13

Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta bao gồm f(0) = m.

limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16

Để hàm số tiếp tục trên thì hàm số phải thường xuyên tại x = 0

⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.

Vậy m=16thì hàm số thường xuyên trên 0;+∞.

Dạng 3: chứng tỏ phương trình gồm nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: mang đến hàm số y = f(x) thường xuyên trên cùng f(a).f(b) i; bi làm thế nào để cho các khoảng (ai; bi) rời nhau cùng f(ai).f(bi) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: x4−3x3+x−18=0 tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng chừng (-1; 3).

b) Phương trình 2x+61−x3=3có bao nhiêu nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số fx=x4−3x3+x−18liên tục bên trên <- 1; 3>.

Ta có: f−1=238;   f0=−18;   f12=116;     f1=−98;    f3=238

Ta thấy:

f(- 1).f(0) f0.f120, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc0;12

f12.f10, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc12;1

f(1).f(3) t=1−x3⇒x=1−t3. Lúc đó phương trình sẽ cho bao gồm dạng 2t3 – 6t + 1 = 0

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên R

Ta tất cả f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 t1∈(−2;0). Khi đóx1=1−t13,x1∈(1;9).

f(0).f(1) = - 3 t2∈(0;1). Khi đóx2=1−t23,x2∈(0;1).

f(1).f(2) = - 15 t3∈(1;2). Khi đóx3=1−t33,x3∈(−7;0).

Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có tối thiểu 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 có tối nhiều 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 tất cả đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Vậy phương trình 2x+61−x3=3có ít nhất 3 nghiệm ở trong (-7; 9).

Ví dụ 2: chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với đa số m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 cùng f(- 1) = m2 + 1

nênf−1.f0=−m2+10,∀m∈ℝ

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm nhiều thức nên tiếp tục trên <-1; 0>

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có tối thiểu một nghiệm thuộc (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi m.

3. Bài xích tập trường đoản cú luyện

Câu 1. mang lại hàm số f(x)=x−2x−4  khi  x≠414         khi  x=4.

Khẳng định nào dưới đây đúng nhất

A. Hàm số liên tiếp tại x = 4.

B. Hàm số liên tiếp tại hồ hết điểm trên tập khẳng định nhưng cách quãng tại x = 4.

C. Hàm số không liên tiếp tại x = 4.

D. tất cả đều sai.

Câu 2. mang đến hàm sốfx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

A. Hàm số thường xuyên tại x0 = -1.

B. Hàm số thường xuyên tại hầu hết điểm.

C. Hàm số đứt quãng tại x0 = -1.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 3. cho hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02                   khi x=0

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x0 = 0.

B. Hàm số liên tục tại phần lớn điểm nhưng cách trở tại x0 = 0.

C. Hàm số liên tục tại các điểm.

D. tất cả đều sai.

Câu 4. mang đến hàm số fx=x2−4. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tiếp tại x = 2.

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.

(III) f(x) thường xuyên trên đoạn <-2; 2>.

A. Chỉ (I) cùng (III).

B. Chỉ (I).

C.

Xem thêm: Top 10 Câu Chuyện Về Lòng Kiên Trì, Vượt Khó, Câu Chuyện Về Sự Kiên Trì

Chỉ (II).

D. Chỉ (II) với (III).

Câu 5. mang đến hàm số f(x)=x+2x2−x−6 . Xác minh nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số tiếp tục trên R.

B. Hàm số liên tiếp tại đông đảo R-2; 3 cùng hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số thường xuyên tại x = -2; x = 3.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 6. tra cứu m để các hàm sốf(x)=x−23+2x−1x−1  khi x≠13m−2              khi x=1 tiếp tục trên R

A. m = 1

B. m=139

C. m = 2

D. m = 0

Câu 7. tra cứu m để các hàm sốf(x)=x+1−1x    khi x>02x2+3m+1  khi x≤0 liên tục trên R.

A. m = 1

B.m=−16

C. m = 2

D. m = 0

Câu 8. mang lại hàm sốf(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1

Tìm a để hàm số thường xuyên tại x0 = 1.

A. −23.

B. 2.

C. −32.

D. -2.

Câu 9. cho hàm số fx=a2x2        khi  x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi  x>2.

Giá trị của a để f(x) thường xuyên trên R là:

A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. đến hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323      khi x=3.

Tìm xác minh đúng vào các xác minh sau:

(I). F(x) tiếp tục tại x=3

(II). F(x) cách quãng tại x=3

(III). F(x) thường xuyên trên R

A. Chỉ (I) và (II).

B. Chỉ (II) và (III).

C. Chỉ (I) với (III).

D. Cả (I),(II),(III) gần như đúng.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các xác minh sau:

I. F(x) liên tiếp trên đoạn với f(a).f(b)fa.fb≥0thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I cùng II đúng.

D. Cả I với II sai.

Câu 12. mang đến phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn xác minh đúng vào các xác minh sau:

A. Phương trình (1) không tồn tại nghiệm trong khoảng (-1; 1).

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong tầm (-2; 0).

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong vòng (-2; 1).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng tầm (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. mang lại phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong số đó a, b, c là những tham số thực. Chọn khẳng định đúng vào các xác định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với tất cả a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với đa số a, b, c.

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có tối thiểu ba nghiệm với đa số a, b, c.

Xem thêm: 'Respectively' (Tiếng Anh), ' Lần Lượt Tiếng Anh Là Gì ?

Câu 15. đến hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong số khoảng sau đây?