ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

     

Bài viết phía dẫn vận dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thông qua tổng hợp lý thuyết, phân dạng, các bước giải toán và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kiến thức và kỹ năng và những ví dụ trong bài viết được tìm hiểu thêm từ những tài liệu nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đăng cài đặt trên qmc-hn.com.

Bạn đang xem: ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Lý thuyết buộc phải nắm:1. Diện tích của hình tròn trụ và của hình elípa. Hình tròn buôn bán kính $R$ có diện tích $S = pi R^2.$b. Hình elíp $left( E ight)$: $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ có diện tích s $S = pi ab.$2. Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường conga. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = fleft( x ight)$ ($fleft( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho bởi vì công thức: $S = intlimits_a^b f(x) ight .$b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến phố thẳng $x = a$, $x = b$ và đồ dùng thị của nhì hàm số $y = f_1left( x ight)$ và $y = f_2left( x ight)$ ($f_1left( x ight)$ và $f_2left( x ight)$ liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$) được cho do công thức: $S = intlimits_a^b dx .$

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = fleft( x ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$+ Bước 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích s cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b f(x) ight .$+ Bước 2: Xét dấu biểu thức $fleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ kia phân được đoạn $left< a;b ight>$ thành các đoạn nhỏ, trả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ nhưng trên mỗi đoạn $fleft( x ight)$ chỉ có một dấu.+ Bước 3: Khi đó: $S = intlimits_a^c_1 dx + intlimits_c_1^c_2 left dx$ $ + … + intlimits_c_k^b dx.$

Chú ý: Nếu việc phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $x = m fleft( y ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$) hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó công thức tính diện tích s là: $S = intlimits_a^b dy .$

Ví dụ 1: Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = 0$ và $x = frac2pi 3.$b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 2.$

a. Ta có: $S = intlimits_0^2pi /3 comathop m s olimits x + 1 ight $ $ = intlimits_0^2pi /3 (comathop m s olimits x + 1)dx $ $ = left( sin x + x ight)left| _0^2pi /3 ight.$ $ = fracsqrt 3 2 + frac2pi 3.$b. Ta có: $S = intlimits_0^2 left .$Xét hàm số: $fleft( x ight) = x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, ta có: $x^3 – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 + m x m + m 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x m = m 1.$Bảng xét dấu:

*

Khi đó: $S = intlimits_0^1 dx + intlimits_1^2 x^3 – 1 ight $ $ = intlimits_0^1 left( 1 – x^3 ight)dx + intlimits_1^2 left( x^3 – 1 ight)dx $ $ = left( x – fracx^44 ight)left| _0^1 ight. + left( fracx^44 – x ight)left| _1^2 ight. = frac72.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên:+ Ở câu 1.a họ chỉ việc áp dụng công thức cùng rất nhận xét $cosx + 1 ge 0$ để phá lốt trị tốt đối. Từ đó, nhận giá tốt trị của tích phân.+ Ở câu 1.b bọn họ cần xét dấu đa thức $x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, để từ đó tách tích phân $S$ thành những tích phân bé dại mà trên đó biểu thức $x^3 – 1$ không âm hoặc không dương.

Xem thêm: Viết Văn Nghị Luận Xã Hội Về Tệ Nạn Ma Tuý, Hãy Nói Không Với Ma Túy

Ví dụ 2: Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ và trục hoành.b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$ và trục hoành.

Xem thêm: Văn Bản Phong Cách Hồ Chí Minh Lớp 9, Soạn Bài Phong Cách Hồ Chí Minh (Trang 5)

a. Ta có hoành độ giao điểm của đồ vật thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ cùng trục hoành là:$ – x^2 + 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_1^2 dx $ $ = intlimits_1^2 left( – x^2 + 3x – 2 ight)dx $ $ = left. left( – frac13x^3 + frac32x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = frac16.$b. Ta gồm hoành độ giao điểm của đồ vật thị hàm số $y = x^2 – 2x$ với trục hoành là:$x^3 – 2x^2 – x + 2 m = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 left $ $ = intlimits_ – 1^1 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ + intlimits_1^2 left $$ = intlimits_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight)dx $ $ + intlimits_1^2 left( – x^3 + 2x^2 + x – 2 ight)dx $$ = left. left( frac14x^4 – frac23x^3 – frac12x^2 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( – frac14x^4 + frac23x^3 + frac12x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên họ đều cần kiếm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:+ Ở câu 2.a vị phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm yêu cầu hàm số dưới dấu vết phân chỉ gồm một dấu.+ Ở câu 2.b vày phương trình hoành độ có bố nghiệm phải tích phân $S$ đề nghị được tách bóc thành nhì tích phân nhỏ.Dạng toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị nhì hàm số $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$) hai mặt đường thẳng $x = a$, $x = b$+ Bước 1: gọi $S$ là diện tích s cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b left .$+ Bước 2: Xét vệt biểu thức $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a,b ight>$ thành những đoạn nhỏ, giả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà trên mỗi đoạn $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ chỉ bao gồm một dấu.+ Bước 3: khi đó: $S = I = intlimits_a^c_1 left dx + $ $… + intlimits_c_k^b dx .$

Chú ý: Nếu vấn đề phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị nhì hàm số $x = f_1left( y ight)$ và $x = f_2left( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) và hai đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó công thức tính diện tích là: $S = intlimits_a^b dy .$

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị các hàm số $y = 4-x^2$, $y = -x + 2.$b. Đồ thị những hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$

a. Hoành độ giao điểm của hai đồ dùng thị là nghiệm của phương trình:$4–x^2 = –x + 2$ $ Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^2 – x – 2 ight $ $ = – intlimits_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx $ $ = – left. left( frac13x^3 – frac12x^2 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac276.$b. Hoành độ giao điểm của hai vật dụng thị là nghiệm của phương trình:$lnx = -lnx$ $ Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ Leftrightarrow lnx = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Khi đó: $S = intlimits_1^e dx $ $ = 2intlimits_1^e ln x.dx .$Đặt: $left{ eginarraylu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = xendarray ight.$ $ Rightarrow S = 2left( left. X.ln x ight ight)$ $ = 2left( e – left. X ight ight)$ $ = 2.$

Ví dụ 4: Cho hàm số: $left( C ight)$: $y = fracx^2x^2 + 1$. Tìm $b$ thế nào cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi $left( C ight)$ và những đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $fracpi 4.$

Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có:$S = intlimits_0^b | frac mx^ m2 mx^ m2 + 1 – 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow intlimits_ m0^b | frac mx m ^ m2 – x^2 – 1 mx m ^ m2 + 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| intlimits_0^b fracdx mx^ m2 + 1 ight|$ $ = fracpi 4$ $(1).$Đặt $x = tant$, $ – fracpi 2 Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = alpha $ (với $tanalpha = b$ và $ – fracpi 2 lúc đó: $(1) Leftrightarrow left| intlimits_0^alpha dt ight|$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| t ight|left| eginarraylalpha \0endarray ight.$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| alpha ight| = fracpi 4$ $ Leftrightarrow b = pm 1.$